Bilangan Prima

Dalam garis bilangan positif, ada beberapa jenis bilangan yang termuat didalamnya. Salah satu jenis bilangan yang termuat adalah bilangan prima. Pada kesempatan kali ini, kita akan bahas secara mendalam apa itu bilangan prima. Simak pembahasan berikut ini

Pengertian

Bilangan bulat positif yang lebih besar dari 1 dan tidak memiliki faktor bilangan bulat selain 1 dan bilangan itu sendiri disebut sebagai bilangan prima. Contohnya : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, … dan seterusnya.

Sedangkan bilangan bulat positif yang lebih dari 1 dan bukan bilangan prima disebut dengan bilangan komposit (tersusun). Contohnya 4, 6, 8, 9, 10, 12, … dan seterusnya

Catatan :

Perhatikan bahwa 1 bukanlah bilangan komposit maupun prima. Satu (1) disebut sebagai unit. Jadi himpunan semua bilangan bulat positif (bilangan asli) terbagi dalam tiga himpunan bagian yang saling lepas. Yaitu :

1. Himpunan unit
2. Himpunan prima
3. Himpunan komposit

Teorema

Ada beberapa teorema yang berhubungan dengan jenis bilangan ini. Dengan teorema ini, kita dapat menggunakannya sebagai dasar dalam menjawab soal-soal.

Teorema 1

Setiap bilangan bulat positif yang lebih besar dari 1 dapat dibagi dengan suatu bilangan prima. Dan hasilnya bilangan bulat.

Buktinya :

Ambil sembarang bilangan bulat positif n > 1. Misalnya 210. 

210 ÷ 2 = 105

210 ÷ 3 = 70

210 ÷ 5 = 42

210 ÷ 7 = 30

Dengan memperhatikan teorema diatas, suatu bilangan bulat positif yang lebih besar dari 1 selalu terbagi oleh bilangan prima. Maka hasil baginya pun demikian dapat dibagi dengan bilangan prima. 

Teorema 2

Setiap bilangan bulat positif yang lebih besar dari 1 adalah bilangan prima atau bilangan itu dapat dinyatakan sebagai perkalian bilangan-bilangan prima. Mungkin saja di antara faktor-faktor prima tersebut ada yang sama. Faktor-faktor yang sama dapat ditulis sebagai bilangan berpangkat.

Buktinya :

Ambil bilangan bulat positif n > 1. Misal 5544. Diubah menjadi Bentuk kanonik (perkalian faktor-faktor prima) menjadi

5544 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 7 atau dapat ditulis 5544 = 2³ × 3² × 7 × 11

Teorema diatas sangat membantu kita dalam menentukan FPB dan KPK dari dua bilangan atau lebih. Yaitu dengan menyatakan masing-masing bilangan bulat dalam bentuk kanoniknya. Perhatikan contoh soal berikut ini

Tentukan KPK dan FPB dari 198, 216 dan 252

Penyelesaian :

Ubahlah ketiga bilangan tersebut dalam bentuk kanoniknya, maka diperoleh

198 = 2 × 3² × 11

216 = 2³ × 3³

252 = 2² × 3² × 7

Dari ketiga bilangan tersebut, kita mendapatkan beberapa faktor prima, yaitu 2, 3, 7 dan 11. Sehinggga dapat ditulis sebagai berikut

198 = 2 × 3² × 7° × 11¹

216 = 2³ × 3³ × 7° × 11°

252 = 2² × 3² × 7¹ × 11°

KPK dari ketiga bilangan tersebut kita dapatkan dari faktor prima yang memiliki pangkat terbesar. Sehingga diperoleh 

KPK = 2³ × 3³ × 7¹ × 11¹

KPK = 16632

FPB dari ketiga bilangan tersebut kita dapatkan dari faktor prima yang memiliki pangkat terkecil. Sehingga diperoleh 

FPB = 2¹ × 3² × 7° × 11°

FPB = 18

Demikianlah uraian yang dapat kami sampaikan. Semoga bermanfaat dan menambah wawasan kita semua. Jangan lupa untuk share dengan teman-teman yang lain.