√ Logika Matematika [Materi Lengkap + Contoh Soal] - Nilai Mutlak

Logika Matematika

Logika matematika adalah salah satu cabang ilmu dalam matematika. Ilmu ini sangat bermanfaat untuk kita semua. Karena tanpa kita sadari kita sudah menggunakan logika matematika dalam kehidupan sehari-hari.

Sehingga anggapan bahwa matematika hanya berisi menghitung itu salah. Karena logika ini tidak selalu membahas tentang perhitungan

Fungsi Logika Matematika

Logika matematika digunakan untuk menentukan nilai dari suatu pernyataan, baik itu benar maupun salah. Pernyataan sendiri ada dua macam, yaitu :

Pernyataan Tertutup (Kalimat Tertutup)

Pernyataan tertutup adalah suatu pernyataan yang sudah jelas nilai kebenarannya. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh pernyataan berikut ini

  1. 9 < 5 (Salah), Karena yang benar adalah 9 > 5.
  2. Bapak adalah laki-laki (Benar)
  3. Ibu bukan perempuan (Salah), Karena yang benar ibu adalah perempuan
  4. Ikan hidup di darat (Salah), Karena yang benar adalah ikan hidup di air.

Pernyataan Terbuka (Kalimat Terbuka)

Pernyataan terbuka adalah suatu pernyataan yang belum jelas nilai kebenarannya karena adanya suatu variabel atau pengubah. Sehingga perlu dibuktikan benar atau salah. Contoh soal

 p(x) : 5x + 1 > 10

Soal tersebut perlu dibuktikan kebenarannya. Apakah berlaku untuk semua bilangan atau memiliki batasan tertentu.

Jika x = 1

Maka

= p(1) : 5.1 + 1 > 10

= 6 > 10 (Salah)

Ketika x = 1, maka  p(x) : 5x + 1 > 10 bernilai salah.

Jika x = 2

Maka

= p(2) : 5.2 + 1 > 10

= 11 > 10 (Benar)

Ketika x = 1, maka  p(x) : 5x + 1 > 10 bernilai benar.

Ingkaran atau Negasi

Ingkaran merupakan balikan nilai dari suatu pernyataan. Sehingga ketika suatu pernyataan bernilai benar, ketika pernyataan tersebut dinegasikan maka berubah nilai menjadi salah. Sebaliknya, jika suatu pernyataan bernilai salah, ketika pernyataan tersebut dinegasikan maka berubah nilai menjadi benar. Negasi biasanya dinotasikan dengan “~“. Contoh negasi dari p maka dapat ditulis “~p“.

Contoh negasi :

p~p
Saya tampanSaya tidak tampan
Saya punya banyak uangSaya tidak punya uang
50 adalah bilangan genap50 bukan bilangan genap
5 + 6 = 115 + 6 ≠ 11

Pernyataan Kuantor

Pernyataan kuantor merupakan suatu pernyataan yang memiliki nilai kuantitas atau jumlah. Dalam pernyataan kuantor biasanya terdapat kata tambahan. Kata tambahan tersebut ada dua macam, yaitu :

  1. Kuantor tang bersifat universal. Contoh : semua, seluruh, untuk setiap.
  2. Kuantor yang bersifat eksistensial. Contoh : ada, beberapa, sebagian.

Contoh Pernyataan Kuantor

  1. Semua burung punya sayap.
  2. Ada burung yang tidak bisa terbang.
  3. Beberapa mahasiswa bolos hari ini.

Perlu diketahui bahwa ketika suatu pernyataan kuantor di negasikan, maka sifat kuantornya akan berubah. Bisa dari universar menjadi eksistensial maupun sebaliknya. Contoh

p~p
Semua burung punya sayapBeberapa burung tidak punya sayap
Setiap ikan hidup di airAda ikan yang tidak hidup di air
Untuk setiap bilangan bulat dibagi satu maka hasilnya bilangan itu sendiriSebagian bilangan bulat jika dibagi satu hasilnya bukan bilangan itu sendiri

Pernyataan Majemuk

Dalam logika matematika, beberapa pernyataan dapat dijadikan satu. Pernyataan yang terbentuk dari gabungan beberapa pernyataan disebut dengan pernyataan majemuk. Untuk menggabungkan pernyataan ada beberapa kata hubung yang dapat digunakan, antara lain :

1. Konjungsi (Dan)

Ketika menggabungkan dua pernyataan dengan konjungsi maka disisipi lambang “” di antara kedua pernyataan. Contoh

p = ikan berenang

q = burung terbang

p ∧ q = ikan berenang dan burung terbang

Tabel Kebenaran Konjungsi

pqp ∧ q
BBB
BSS
SBS
SSS

Dari tabel diatas dapat disimpulkan bahwa sifat dari konjungsi benar apabila kedua pernyataan tersebut masing-masing bernilai benar.

2. Disjungsi (Atau)

Ketika menggabungkan dua pernyataan dengan konjungsi maka disisipi lambang “” di antara kedua pernyataan. Contoh

p = ikan punya sirip

q = burung punya sayap

p ∨ q = ikan punya sirip atau burung punya sayap

Tabel kebenaran disjungsi

pqp ∨ q
BBB
BSB
SBB
SSS

Dari tabel diatas kita dapat menyimpulkan bahwa sifat disjungsi salah apabila kedua pernyataan bernilai salah.

3. Implikasi (jika … maka …)

Ketika menggabungkan dua pernyataan dengan konjungsi maka disisipi lambang “⇒” di antara kedua pernyataan.  Contoh

p = hari ini hujan

q = saya pakai mantel

p ⇒ q = jika hari ini hujan maka saya pakai mantel

Dalam implikasi “p” disebut sebagai hipotesa, sedangkan “q” adalah konklusi.

Tabel kebenaran implikasi

pqp ⇒ q
BBB
BSS
SBB
SSB

Dari tabel diatas kita dapat menyimpulkan bahwa sifat implikasi bernilai salah apabila hipotesa bernilai benar dan konklusi bernilai salah.

4. Biimplikasi (jika hanya jika)

Ketika menggabungkan dua pernyataan dengan konjungsi maka disisipi lambang “⇔” di antara kedua pernyataan.  Contoh

p = saya sukses

q = saya kerja keras

p ⇔ q = saya sukses jika hanya jika saya bekerja keras

Tabel kebenaran biimplikasi

pqp ⇔ q
BBB
BSS
SBS
SSB

Dari tabel diatas dapat disimpulkan bahwa biimplikasi bernilai benar apabila kedua pernyataan tersebut bernilai sama. Bisa keduanya benar atau pun keduanya salah.

Tautologi

Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk setiap kemungkinan yang ada.

Kontradiksi

Kontradiksi adalah kebalikan dari tautologi. Yaitu pernyataan yang selalu salah untuk setiap kemungkinan yang ada.

Bentuk Ekuivalen Pernyataan Majemuk

Pernyataan majemuk yang memiliki nilai kebenaran sama untuk setiap kemungkinan disebut ekuivalen. Notasi atau lambang ekuivalen dalam logika matematika adalah “≡”. Bentuk-bentuk pernyataan majemuk yang saling ekuivalen antara lain :

p ⇒ q ≡ ~p ∨ q

p ∧ q ≡ q ∨ p

p ∨ q ≡ q ∧ p

p ⇒ ~q ≡ q ⇒ ~p

p ⇒ q ≡ ~p ⇒ ~q

p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

p ⇒ (p ∨ q) (~p ∧ ~q) ⇒ ~p

p ⇔ q ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)

Ingkaran pernyataan majemuk

Ingkaran konjungsi

~(p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q

Ingkaran disjungsi

~(p ∨ q) ≡ ~p ∧ ~q

Ingkaran Implikasi

~(p ⇒ q) ≡ p ∧ ~q

Ingkaran Biimplikasi

~(p ⇔ q) ≡ (p ∧ ~q) ∨ (q ∧ ~p)

Demikianlah pembahasan lengkap mengenai logika matematika. Semoga bermanfaat dan menambah wawasan kita semua. Jangan lupa untuk share dengan kawan-kawan yang lainnya.

Tinggalkan Balasan