Mean Median Modus

Untuk mendapatkan gambaran yang lebih jelas mengenai suatu kumpulan data tidak hanya menggunakan tabel atau diagram saja. Tetapi juga diperlukan ukuran-ukuran. Kali ini akan bahas lebih dalam tentang ukuran pemusatan data.

Beberapa ukuran yang termasuk dalam ukuran pemusatan data adalah rata-rata hitung (mean), modus dan median. Ukuran pemusatan menunjukkan di mana suatu data memusat atau suatu kumpulan pengamatan memusat.

Mean atau Rata-Rata Hitung

Untuk Data Tunggal

Jika diketahui sebanyak n data tunggal, maka rata-ratanya adalah jumlah seluruh data dibagi dengan banyaknya data.

rumus mean1

atau

rumus mean data tunggal

Keterangan:

 \bar x : rata-rata

 x_i : data ke i

n : banyaknya data

Contoh

Tentukan rata-rata skor ulangan dari 10 siswa di bawah ini.

6, 7, 8 , 6, 8, 5, 6, 9, 7, 6

Penyelesaian

 \bar x = \frac{\sum_{1}^{n} x_{i}}{n} = \frac{6+7+8+6+8+5+6+9+7+6}{10} = \frac{67}{10} = 6,7

Jadi, rata-rata skor ulangan 10 siswa tersebut adalah 6,7.

Jika data tunggal tersebut disajikan dalam tabel distribusi frekuensi, maka rata-ratanya dapat ditentukan sebagai berikut.

rumus mean data distribusi frekuensi

atau

rumus mean untuk data distribusi frekuensi

Contoh

Berikut ini adalah data rata-rata skor ulangan dari 10 siswa pada contoh sebelumnya yang disajikan dalam tabel distribusi frekuensi.

x_{i}f_{i}
51
64
72
82
91
\sum10

Dari data di atas, tentukan rata-ratanya.

 \bar x = \frac {\sum_{1}^{n} f_{i} x_{i}}{\sum_{1}^{n} f_{i}} = \frac{67}{10} = 6,7

Jadi, rata-rata skor ulangan 10 siswa tersebut adalah 6,7.

Untuk Data Berkelompok

Untuk menentukan rata-rata data berkelompok, pada prinsipnya sama dengan menentukan rata-rata data tunggal. Seperti yang disajikan dalam tabel distribusi frekuensi, perbedaanya hanya pada nilai x_{i}.

Saat menentukan rata-rata data tunggal yang disajikan dalam tabel distribusi frekuensi x_{i} menyatakan data ke i, sedangkan pada data berkelompok x_{i} menyatakan titik tengah dari suatu interval tertentu. Perhatikan contoh berikut.

Di bawah ini adalah data nilai ujian mata pelajaran matematika dari 80 orang siswa. Dari data tersebut akan ditentukan rata-rata skor ujian akhirnya.

Skorf_{i}
31-402
41-503
51-605
61-7014
71-8024
81-9020
91-10012
\sum80

Penyelesaian

Skorf_{i}x_{i}f_{i} x_{i}
31 – 40235,571
41 – 50345,5136,5
51 – 60555,5277,5
61 – 701465,5917
71 – 802475,51812
81 – 902085,51710
91 – 1001295,51146
506070
 \bar x = \frac {\sum_{1}^{n} f_{i} x_{i}}{\sum_{1}^{n} f_{i}} = \frac{6070}{80} = 75,875

Jadi, rata-rata skor UAS matematika adalah 75,88.

Modus

Modus merupakan nilai yang mewakili fenomena yang paling banyak terjadi. Sehingga modus dari suatu data adalah datum yang paling sering muncul atau datum yang memiliki frekuensi tertinggi.

Dalam menentukan modus suatu data bisa terdapat

  • satu modus (unimodus),
  • dua modus (bimodus),
  • lebih dari dua modus (multimodus), dan
  • sama sekali tidak memiliki modus.

Data dikatakan tidak memiliki modus jika frekuensi semua datum sama.

Modus data tunggal

Contoh : Tentukan modus dari data tunggal di bawah ini.

Skorf_i
31 – 402
41 – 503
51 – 605
61 – 7014
71 – 8024
81 – 9020
91 – 10012
80

Penyelesaian

Modus dari data di atas 6, karena skor 6 mempunyai frekuensi terbanyak, yaitu 8.

Modus Data Berkelompok

Modus yang sesungguhnya dari data berkelompok sebenarnya tidak dapat dicari. Sehingga ditetapkan aturan bahwa suatu kelas yang memiliki frekuensi tertinggi disebut kelas modus.

Modus dari data berkelompok adalah suatu nilai dalam kelas modus yang ditentukan dengan rumus sebagai berikut.

rumus modus data distribusi frekuensi

Keterangan:

 Mo = modus

 B_{mod} = batas bawah kelas modus (kelas yang memuat modus)

 c = panjang interval kelas modus

 b_1 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya.

 b_2 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya.

Contoh

Tentukan modus dari data di bawah ini.

Skorf_i
31 – 402
41 – 503
51 – 605
61 – 7014
71 – 8024
81 – 9020
91 – 10012
80

Penyelesaian

Karena frekuensi terbanyak ada pada kelas 71 – 80, maka kelas modus ada pada interval kelas 71 – 80.

Dari tabel diketahui bahwa

 B_{mod} = 70,5

 c = 10

 b_1 = 24 – 14 = 10

 b_2 = 24 – 20 = 4

 Mo = B_{mod} + c (\frac{b_1}{b_1+b_2})  Mo = 70,5 + 10 (\frac{10}{10+4})  Mo = 70,5 + 10 (\frac{10}{14})  Mo = 77,64

Median (Nilai Tengah)

Median (Me) adalah nilai tengah suatu data jika data tersebut telah diurutkan dari nilai data terkecil hingga terbesar.

Median data tunggal

Untuk menentukan median data tunggal dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut.

1. Urutkan data mulai dari data terkecil.

2. Median ditentukan dengan rumus sebagai berikut.

Untuk n ganjil

 Me = X \frac{n+1}{2}

Untuk n genap

 Me = \frac{1}{2} (X \frac{n}{2} + X_{\frac{n}{2}+1})

Keterangan

X \frac{n}{2} adalah data pada urutan ke \frac{n}{2}.

Contoh

Tentukan median dari data di bawah ini.

  1. 6; 7; 8; 6; 8
  2. 6; 7; 8; 6; 8; 5; 6; 9; 7; 6

Penyelesaian

  1. Urutkan data dari yang terkecil
    6; 6; 7; 8; 8Karena n = 5 ganjil, maka Me = X \frac{n+1}{2} = X \frac{5+1}{2} = X \frac{6}{2} = X_3 = 7
  2. Urutkan data dari yang terkecil
    5; 6; 6; 6; 6; 7; 7; 8; 8; 9Karena n = 10 genap, maka Me = \frac{1}{2} (X \frac{n}{2} + X_{\frac{n}{2}+1}) = \frac{1}{2} (X \frac{10}{2} + X_{\frac{10}{2}+1}) = \frac{1}{2} (X_5 + X_6) = \frac{6+7}{2} = 6,5

Median data berkelompok

Untuk menentukan median data berkelompok dapat digunakan rumus sebagai berikut.

 Me = B_med + c (\frac {\frac{1}{2}n-F}{f})

Keterangan

Me = median

 B_{med} = batas bawah kelas median (kelas yang memuat median)

c = panjang interval kelas median

n = banyaknya data

F = frekuensi kumulatif sebelum kelas median

f = frekuensi kelas median

Contoh

Diketahui skor UAS matematika di bawah ini

Skorf_iF
31 – 4022
41 – 5035
51 – 60510
61 – 701424
71 – 802448
81 – 902068
91 – 1001280
80

Berapakah mediannya?

Penyelesaian

Karena , maka mediannya terletak di antara  X_40 dan  X_41 , sehingga kelas median pada interval 71 – 80.

Dari tabel di atas diketahui bahwa

 B_{med} = 70,5

c = 10

n = 80

F = 24

f = 24

 Me = B_med + c (\frac {\frac{1}{2}n-F}{f})

 

 Me = 70,5 + 10 (\frac {\frac{1}{2} \times 80 - 24}{24})

 

 Me = 70,5 + 10 (\frac {16}{24})

 

 Me = 70,5 + 6,7

 

 Me = 77,2

Jadi, mediannya adalah 77,2.

Tinggalkan Balasan